কেন ৩০ বছর? ট্যাবুলার হিজরি ক্যালেন্ডারের ১১টি অধিবর্ষের পেছনের পাটিগণিত

সংক্ষিপ্ত উত্তর

ট্যাবুলার হিজরি ক্যালেন্ডার, যেটি সফটওয়্যার ব্যবহার করে যখন আকাশের দিকে না তাকিয়েই একটি হিজরি তারিখ দরকার হয়, প্রতি ৩০ বছরে পুনরাবৃত্ত হয়। এই ৩০ বছরে থাকে ৩৬০টি মাস ও ১০,৬৩১ দিন, অর্থাৎ ৩০ বছরের মধ্যে ১১টি বছর অধিবর্ষ, যাতে একটি বাড়তি দিন থাকে।

৩০ সংখ্যাটি খেয়ালখুশির নয়। আমরা ১ থেকে ১০০ বছরের পূর্ণ হিজরি বছরের প্রতিটি চক্রকে চান্দ্র মাসের প্রকৃত দৈর্ঘ্যের সঙ্গে পরীক্ষা করেছি। ৩০ বছরের চক্রই প্রথম, যা ৩৬০টি প্রকৃত মাসের ১৭ মিনিটের মধ্যে আসে। এর চেয়ে ছোট কোনোটিই ভালো করে না, আর যে পরবর্তী চক্র একে ছাড়িয়ে যায় তা ৭৯ বছরের। এই সংক্ষিপ্ত পথের দাম সামান্য: ক্যালেন্ডারের গড় মাস চাঁদের মাসের চেয়ে ২.৯ সেকেন্ড ছোট, তাই চাঁদের সঙ্গে এর পুরো একদিনের অমিল জমে কেবল প্রায় প্রতি ২,৫০০ বছরে।

সমস্যা

চাঁদ এক অমাবস্যা থেকে পরের অমাবস্যায় যেতে গড়ে ২৯.৫৩০৫৮৯ দিন নেয়। ক্যালেন্ডারের মাসকে পূর্ণসংখ্যক দিনের হতে হয়, তাই মাস ২৯ বা ৩০ দিনের। সবচেয়ে সরল নিয়মে এ দুটি পালাক্রমে আসে: ৩০, ২৯, ৩০, ২৯ এবং এভাবে। প্রতিটির ছয়টি মিলে হয় ৩৫৪ দিনের একটি বছর।

বারোটি প্রকৃত মাস স্থায়ী হয় ১২ × ২৯.৫৩০৫৮৯ = ৩৫৪.৩৬৭ দিন। ক্যালেন্ডারের বছর ০.৩৬৭ দিন কম, অর্থাৎ ৮ ঘণ্টা ৪৯ মিনিট। তিন বছর পরে ক্যালেন্ডার চাঁদ থেকে পুরো একদিন সরে গেছে। তাই কিছু বছরে একটি বাড়তি দিন লাগে, একটি লিপ ডে, যা শেষ মাসে (জিলহজ) যোগ করা হয়। প্রশ্ন হলো কত ঘন ঘন।

ত্রুটি গোনা

ধরুন N পূর্ণ বছরের একটি চক্র। তাতে ১২N টি চান্দ্র মাস থাকে, যা স্থায়ী হয় ১২N × ২৯.৫৩০৫৮৯ দিন: ভগ্নাংশসহ একটি সংখ্যা। ক্যালেন্ডারকে এটি পূর্ণসংখ্যক দিনে গোল করতে হয়। পার্থক্যটিই প্রতিটি চক্রে জমে ওঠা ত্রুটি।

আমরা ১ থেকে ১০০ বছরের প্রতিটি চক্র পরীক্ষা করেছি। নিচেরগুলো প্রত্যেক ছোট চক্রের চেয়ে বেশি নির্ভুল ছিল:

"লিপ ডে" হলো চক্রটির জন্য প্রতি বছরের ৩৫৪ দিনের ওপরে যতগুলো দিন লাগে তার সংখ্যা। "কম" মানে ক্যালেন্ডারের দিনগুলো মিলে প্রকৃত মাসগুলোর চেয়ে সামান্য কম হয়, "বেশি" মানে সামান্য বেশি।

সিঁড়ির ছবি

চার্টের প্রতিটি বিন্দু ১ থেকে ১০০ বছরের একটি চক্রের দৈর্ঘ্য। বিন্দু যত ওপরে, ত্রুটি তত বড়। সোনালি বিন্দুগুলো ওপরের সারণির রেকর্ড-স্থাপনকারী, আর বৃত্তে ঘেরাটি ট্যাবুলার ক্যালেন্ডারের ৩০ বছরের চক্র। দুটি স্কেলই লগারিদমিক, তাই প্রতিটি গ্রিডরেখা তার ওপরেরটির চেয়ে দশ গুণ ছোট।

নকশাটি একটি সিঁড়ির মতো। প্রতিবার নতুন রেকর্ডের জন্য দীর্ঘতর চক্র লাগে, আর লাভ ক্রমশ কমে আসে: ১৯ থেকে ৩০ বছরে গেলে ত্রুটি মোটামুটি অর্ধেক হয়, আর ৩০ থেকে ৭৯ বছরে গেলে তা সাত গুণ কমে, কিন্তু লাগে আড়াই গুণেরও বেশি বছর।

কেন ৮ বছর বা ১৯ বছর নয়?

৩টি লিপ ডে সহ একটি ৮ বছরের চক্র মনে রাখা সহজ, কিন্তু তা প্রতি চক্রে ৯১ মিনিট ভুল, ৩০ বছরের চেয়ে পাঁচ গুণ খারাপ। এক শতাব্দী পরে চাঁদের সঙ্গে তার প্রায় একদিনের অমিল দাঁড়াত।

৭টি লিপ ডে সহ একটি ১৯ বছরের চক্র ৩৭ মিনিট ভুল। ১৯ সংখ্যাটি অন্য কারণে বিখ্যাত: চান্দ্র-সৌর ক্যালেন্ডারে ১৯ সৌর বছরে প্রায় ঠিক ২৩৫টি চান্দ্র মাস থাকে (মেটোনিক চক্র)। সেটি একটি ভিন্ন সমস্যা, কারণ সেখানে লক্ষ্য মাসগুলোকে ঋতুর সঙ্গে তালে রাখা। এখানে একমাত্র লক্ষ্য পূর্ণসংখ্যক দিনকে মাসগুলোর সঙ্গে তালে রাখা।

৭৯ বছর কেমন? এটি ৩০ বছরের চেয়ে সাত গুণ বেশি নির্ভুল, ত্রুটি মাত্র ২.৫ মিনিট। কিন্তু অধিবর্ষের নকশায় ৭৯ বছরে ২৯টি অধিবর্ষ থাকত এবং তা মনে রাখা ও হাতে যাচাই করা অনেক কঠিন হতো। ৩০ বছরের চক্র এমন সবচেয়ে ছোট চক্র যা যথেষ্ট নির্ভুল, যাতে তার ত্রুটি দৈনন্দিন ব্যবহারে অদৃশ্য।

কোন বছরগুলো অধিবর্ষ?

প্রচলিত নকশা, যার নাম কুয়েতি অ্যালগরিদম, প্রতিটি ৩০ বছরের চক্রের ২, ৫, ৭, ১০, ১৩, ১৬, ১৮, ২১, ২৪, ২৬ ও ২৯ নম্বর বছরে বাড়তি দিনটি দেয়। লিপ ডেগুলো একসঙ্গে জড়ো না হয়ে চক্র জুড়ে ছড়ানো। আরও কিছু সারণি এই অধিবর্ষগুলোর এক-দুটি সরিয়ে দেয়, যা একটি কারণ, কেন দুটি ট্যাবুলার ক্যালেন্ডার কিছু তারিখে একদিন আলাদা হতে পারে।

চক্রটি যা করে না

চক্রটি গড় মাসকে ঠিক করে। কোনো একক মাস সম্পর্কে এটি কিছুই বলে না। প্রকৃত চান্দ্র মাস স্থির নয়: আলাদা আলাদা মাস প্রায় ২৯.২৭ থেকে ২৯.৮৩ দিন পর্যন্ত হয়, বিস্তার প্রায় ১৩ ঘণ্টা, আর প্রকৃত অমাবস্যা ট্যাবুলার ক্যালেন্ডারের বেছে নেওয়া দিন থেকে একদিন বা তার বেশি দূরে আসতে পারে। সেই কারণেই ট্যাবুলার ক্যালেন্ডার প্রকৃত চাঁদ দেখা থেকে এক-দুই দিন আলাদা হতে পারে, যদিও তার দীর্ঘমেয়াদি গড় প্রায় নিখুঁত।

এই সাইটের অন্য ক্যালেন্ডারগুলোর সঙ্গে ট্যাবুলার ক্যালেন্ডারের পার্থক্যও এটিই। উম্মুল কুরা ক্যালেন্ডার প্রতিটি মাসের জন্য একটি জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক নিয়ম ব্যবহার করে, আর চাঁদ দেখা-ভিত্তিক ক্যালেন্ডার ব্যবহার করে আকাশকেই। ট্যাবুলার ক্যালেন্ডার ব্যবহার করে কেবল পাটিগণিত। ত্রিমুখী-ইঞ্জিনের লেখাটি তিনটিরই তুলনা করে, আর ক্যালেন্ডার পাতায় আপনি এদের মধ্যে বদল করতে পারেন।

সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

৩০ কি সর্বোত্তম সম্ভাব্য চক্র?

পূর্ণ বছরের চক্রগুলোর মধ্যে হ্যাঁ, ৭৯ বছরের চেয়ে ছোট যেকোনোটির জন্য: কোনো ছোট চক্র আরও কাছে আসে না। দীর্ঘতর চক্র আরও নির্ভুল হতে পারে, কিন্তু সেগুলো ব্যবহার করা কঠিন।

ট্যাবুলার ক্যালেন্ডারকে কি কখনো সংশোধন করতে হবে?

প্রায় ২,৫০০ বছরে এটি গড়ে চাঁদের সঙ্গে একদিন অমিল হয়ে যাবে, এবং কাউকে একটি বাড়তি দিন যোগ করতে হবে। তখনো কেউ এটি ব্যবহার করবে কি না, আর ততদিনে দিন ও মাস ঠিক কত দীর্ঘ হবে, তা কেউ বলতে পারে না।

বাড়তি দিনটি শেষ মাসে যোগ হয় কেন?

এটি একটি প্রথা। শেষ মাস জিলহজ সাধারণ বছরে ২৯ দিনের এবং অধিবর্ষে ৩০ দিনের। লিপ ডে বছরের শেষে রাখলে বাকি প্রতিটি মাস প্রতি বছর একই দৈর্ঘ্যের থাকে।

১০,৬৩১ দিন কোথা থেকে আসে?

৩৫৪ দিন × ৩০ বছর = ১০,৬২০ দিন, সঙ্গে ১১টি লিপ ডে = ১০,৬৩১। অর্থাৎ ৩৬০টি মাস, প্রতিটি ২৯.৫৩০৫৫৬ দিনের। প্রকৃত গড় মাস ২৯.৫৩০৫৮৯ দিনের, ২.৯ সেকেন্ড দীর্ঘতর।

আরও দেখুন

• ত্রিমুখী-ইঞ্জিন হিজরি ক্যালেন্ডার
• উম্মুল কুরা ক্যালেন্ডার ব্যাখ্যা
• চার ধরনের চান্দ্র মাস
• ইসলামিক চন্দ্র ক্যালেন্ডার কিভাবে কাজ করে
• কোন বছরে দুটি ঈদ পড়বে?
• ক্যালেন্ডার পাতা, যেকোনো তারিখে তিনটি ইঞ্জিনের তুলনা করতে।
• ঋতুর পর ঋতু রমজান: রমজানের দিন কত দীর্ঘ, বছর বছর, লন্ডন থেকে কেপটাউন

রেফারেন্সসমূহ

• Meeus, J. (1998). Astronomical Algorithms (2nd ed.). Willmann-Bell. অধ্যায় ৪৯, চাঁদের কলা: গড় সিনোডিক মাস, ২৯.৫৩০৫৮৮৮৬১ দিন।
• এই লেখার সংখ্যা ও চার্ট docs/research/tabular-cycles.mjs এবং packages/astronomy/src/tabularCycles.ts দিয়ে পুনরুৎপাদন করা যায়, Hilal Vision-এর সোর্স কোডে।